群的展示

在数学中，展示是定义群的一种方法。通过指定生成元的集合 S 使得这个群的所有元素都可以写为某些这种生成元的乘积，和这些生成元之间的关系的集合 R。称 G 有展示

⟨ S ∣ R ⟩ {\displaystyle \langle S\mid R\rangle } 。

非正式的说，G 有上述展示如果它是 S 所生成的只服从关系 R 的“最自由的群”。正式的说，群 G 被称为有上述展示如果它同构于 S 上的自由群模以关系 R 生成的正规子群的商群。

作为一个简单的例子，n 阶循环群有展示

⟨ a ∣ a n = e ⟩ {\displaystyle \langle a\mid a^{n}=e\rangle } 。

这里的 e {\displaystyle e} 是群单位元。它可以等价的写为

⟨ a ∣ a n ⟩ {\displaystyle \langle a\mid a^{n}\rangle } ，

因为把不包括等号的项认为是等于群单位元。这种项叫做关系元(relator)，区别于包括等号的关系。

所有群都有一个展示，并且事实上有很多不同的展示；展示经常...