微分算子

一元微分定义函数在一点的微分。其中红线部分是微分量dy{displaystyle{textrm{d}}y}，而加上灰线部分后是实际的改变量ΔΔ-->y{displaystyleDelta

历史微分几何（differentialgeometry）作为一个独特的学科的出现一般归功于高斯（CarlFriedrichGauss）和黎曼（BernhardRiemann）。黎曼在哥廷根的著名的康复讲座中描述了多个面向。他通过在一个新的方向上改变给定对象的直观过程激发了多方面的想法，并且预先描述了协调系统和图表在随后形式发展中的作用：物理学家马克士威（JamesClerkMaxwell）和数学家库尔巴斯托罗（GregorioRicci-Curbastro）和齐维塔（TullioLevi-Civita）的成果导入了张量分析和广义协变性的概念，它将内在几何属性识别为关于协调变换的不变量。这些想法在1912年爱因斯坦发展广义相对论理论时取得关键性的应用。外尔（HermannWeyl）于1912年给出了微分流形的一个内在的定义。1930年代，该课题基础性方面的工作被哈斯勒·惠特尼（Hassler...

记号最常用的微分算子是取导数自身。这个算子的常用记号包括：一阶导数如上所示，但当取更高阶n-次导数时，下列替代性记号是有用的：记号D的发明与使用归于奥利弗·赫维赛德，他在研究微分方程中考虑了如下形式的微分算子另一个最常见的微分算子是拉普拉斯算子，定义为另一个微分算子是Θ算子，定义为有时候这也称为齐次算子，因为它的本征函数是关于z的单项式：在n个变量中齐次算子由给出。与单变量一样，Θ的本征空间是齐次多项式空间。一个算子的伴随给定一个线性微分算子T这个算子的伴随定义为算子T∗∗-->{\displaystyleT^{*}}使得这里记号⟨⟨-->⋅⋅-->,⋅⋅-->⟩⟩-->{\displaystyle\langle\cdot,\cdot数量积angle}表示数量积或点积。从而此定义取决于数乘的定义。单变量中的形式伴随在平方可积函数空间中，数量积定义为如果另外增添要求f或g当x→→-->a{\...

定义一个k阶的微分形式的外微分是一个k+1阶的微分形式。对于一个k-形式ω=fIdxI在R上，其定义如下：对于一般的k-形式ΣIfIdxI（其中多重指标I取遍所有{1,...,n}的基数为k的有序子集），我们只作了线性推广。注意如果上面有i=I{\displaystylei=I}则dxi∧∧-->dxI=0{\displaystyledx_{i}\wedgedx_{I}=0}（参看楔积）。性质外微分满足三个重要性质：线性楔积法则（参看反求导）d=0，蕴涵了混合偏导数的恒等式的公式，所以总有可以证明外微分由这些性质和其与0-形式（函数）上的微分的一致性唯一决定。d的核由闭形式组成，而其像由恰当形式组成（参看恰当微分）。坐标不变公式给定一个k-形式ω和任意光滑向量场V0,V1,…,Vk我们有其中[Vi,Vj]{\displaystyle[V_{i},V_{j}]}表示李括号，而帽子记号表示省略...

定义对给定的两个微分流形M,N{displaystyleM,N}，若对光滑映射f:M→→-->N{displaystylef:MtoN}，存在光滑映射g:N→→-->M{displ