同态

康熙二帝对清官的不同态度养廉埋下渐衰隐患,《东华录》谓：“康熙年间有清官，雍正年间无清官。”此说并非无据，而是大致反映

康雍二帝对清官的不同态度养廉埋下渐衰隐患,《东华录》谓：“康熙年间有清官，雍正年间无清官。”此说并非无据，而是大致反映

像和核我们定义h的核为被映射到H中单位元上的G中的那些元素的集合定义h的像为核是G的正规子群（事实上，h(gug）=h(g)h(u)h(g)=h(g)eHh(g)=h(g)h(g)=eH)而像是H的子群。同态h是单射（并叫做单同态）当且仅当ker(h)={eG}。同态的核和像可以被解释为对它接近于同构程度的程度。第一同构定理声称群同态的像im(h)同构于商群G/ker(h)。例子考虑带有加法的循环群Z/3Z={0,1,2}和整数集Z的群。映射h:Z→Z/3Z，有着h(u)=u模以3，是群同态。它是满射并且它的核由被三整除的所有整数构成。指数映射产生从带有加法的实数集R的群到带有乘法的非零实数集R的群的群同态。核是{0}而像由正实数组成。指数映射还产生从带有加法的复数集C的群到带有乘法的非零复数集C的群的同态。这个映射是满射并且有核{2πki:k∈Z}，这可以从欧拉公式得出。给定任何两个群G...

非正式表述因为抽象代数研究带有能产生有意义的集合上的结构或者属性的运算的集合，最有意义的函数就是能够保持这些运算不变的那些。它们被称为同态。例如，考虑带加法运算的自然数。保持加法不变的函数有如下性质：f(a+b)=f(a)+f(b).例如f(x)=3x就是这样的一个同态，因为f(a+b)=3(a+b)=3a+3b=f(a)+f(b)。注意这个同态从自然数映射回自然数。同态不必从集合映射到带相同运算的集合。例如，存在保持运算的从带加法的实数集到带乘法的正实数集。保持运算的函数满足：f(a+b)=f(a)*f(b)，因为加法是第一个集合的运算而乘法是第二个集合的运算。指数定律表明f(x)=e满足如下条件:2+3=5变为e*e=e.同态的一个特别重要的属性是如果幺元存在，它将被保持，也即，被映射为另一个集合中的幺元。注意第一个例子中f(0)=0,而零是加法幺元。第二个例子中，f(0)=1，因为0...