约化李群

对于李群G{\displaystyle G}，以下陈述等价

G{\displaystyle G}是某个R{\displaystyle \mathbb {R} }-约化群的覆叠空间（带有相应的李群结构）。

其李代数g{\displaystyle {\mathfrak {g}}}同构于某个R{\displaystyle \mathbb {R} }-约化群的李代数。

其李代数g{\displaystyle {\mathfrak {g}}}可写成一个半单李代数与一个交换李代数的直和。

g=[g,g]⊕ ⊕ -->Z(g){\displaystyle {\mathfrak {g}}=[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]\oplus Z({\mathfrak {g}})}

满足以上任一条件的李群称为约化李群，有时我们也会加上条件(G:G0){\displaystyle (G:G^{0}) 。

若一李代数满足条件二至四，称之为约化李代数，这相当于说该李代数的伴随表示是完全可约的。但这并不保证所有有限维线性表示都完全可约。

条件一可以延伸到任意局部域上的情形。

分类

约化群可以由根资料分类。利用概形语言，可将约化群的定义延伸到任意基概形S{\displaystyle S}上，并导出类似的分类定理。

参见

根资料

文献

Armand Borel. Linear Algebraic Groups（2nd ed.）. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-97370-2.

A. Borel, J. Tits,Groupes réductifsPubl. Math. IHES , 27 (1965) pp. 55–150;Compléments à l"article «Groupes réductifs».Publications Mathématiques de l"IHÉS, 41 (1972), p. 253-276

François Bruhat; Tits, Jacques Groupes réductifs sur un corps local :I. Données radicielles valuées.Publications Mathématiques de l"IHÉS, 41 (1972), p. 5-251II. Schémas en groupes. Existence d"une donnée radicielle valuée.Publications Mathématiques de l"IHÉS, 60 (1984), p. 5-184

V.L. Popov,Reductive group, (编) Hazewinkel, Michiel,数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 

A.L. Onishchik,Lie algebra, reductive, (编) Hazewinkel, Michiel,数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 

T. A. Springer,Reductive groups, inAutomorphic forms, representations, and L-functions vol 1ISBN 0-8218-3347-2

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