例子

假设函数f{\displaystyle f}为定义在实数上的函数：

定义为

f{\displaystyle f}的陪域为R{\displaystyle \mathbb {R} }，但明显地f(x){\displaystyle f(x)}不会取到负数值，因此，事实上值域只是非负实数集合R+∪ ∪ -->{0}{\displaystyle \mathbb {R} ^{+}\cup \{0\}区间即区间[0,∞ ∞ -->){\displaystyle [0,\infty )}：

求函数值域

求函数值域，尤其是复合函数的值域时，首先要对基本的初等函数的定义域和值域充分了解，其次要灵活运用基本不等式。

基本方法

初等函数的值域求法一般为：

观察法

不等式法

反函数法

复合函数法

配方法

判别式法

图像求值

观察法

例如：y=3− − -->x{\displaystyle y=3-{\sqrt {x}}}

由x≥ ≥ -->0{\displaystyle {\sqrt {x}}\geq 0}

⇒ ⇒ -->− − -->x≤ ≤ -->0{\displaystyle \Rightarrow -{\sqrt {x}}\leq 0}

所以值域为(-∞,3]。

不等式法

反函数法

先求得所要计算的函数的反函数，则反函数的定义域即为原函数的值域。

例如：y=x3{\displaystyle y={\sqrt[{3}]{x}}}

它的反函数为x=y3{\displaystyle x=y^{3}}

反函数的定义域为：(− − -->∞ ∞ -->,+∞ ∞ -->){\displaystyle (-\infty ,+\infty )}

则原函数y=x3{\displaystyle y={\sqrt[{3}]{x}}}的值域为：(− − -->∞ ∞ -->,+∞ ∞ -->){\displaystyle (-\infty ,+\infty )}

复合函数法

配方法

判别式法

图像求值

画出连续函数的图像，则函数图像纵轴的最小值和最大值（若有）组成的区间即为函数的值域。

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陪域

定义域

单射

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双射

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