块自旋

这一节介绍重整化群的一个简单图像：块自旋重整化群。这是由卡丹诺夫（英语：Leo_Kadanoff）在1966年推导出来的。

首先考虑一个固体，如图所示，原子以二维正方形形式排列。假设每一个原子只与它最邻近的原子有相互作用，且这一系统的温度为T{\displaystyle T}，相互作用的强度使用耦合常数J{\displaystyle J}来描述。这一物理系统可以用一个特定的式子来表达，记为H(T,J){\displaystyle H(T,J)}。

现在，我们把这个系统分为有着2× × -->2{\displaystyle 2\times 2}个方块的块区，进而用块变量来描述这个系统，这些变量可以是块内变量的平均数。我们假设这些块变量可以用相同的方程来描述，只不过参数T{\displaystyle T}和J{\displaystyle J}不同（事实上这一假设当然并不成立，但在实际应用中这一近似已足够好）。

原本这个系统内有较多的原子，现在，在问题重整化后，只有四分之一个原子需要求解。按照上面的方法再迭代一次后得到H(T″,J″){\displaystyle H(T"",J"")}，这次只需要计算最初的十六分之一个原子。当然，最好是能够迭代直到只剩下一个最大的块区。一般来说，当迭代很多次后，重整化群变换将趋向于一个不动点上的数。

现在考虑一个具体的例子：铁磁-顺磁相变中的伊辛模型。在这个模型里，耦合常数J{\displaystyle J}代表邻近电子自旋平行时候的相互作用力。这一模型中有三个不动点：

T=0{\displaystyle T=0}和J→ → -->∞ ∞ -->{\displaystyle J\to \infty }。从宏观上来看，温度对系统的影响变得可以忽略不计。这时系统处于铁磁相。

T→ → -->∞ ∞ -->{\displaystyle T\to \infty }和J→ → -->0{\displaystyle J\to 0}。与第1种情形正好相反，温度对系统的影响占据了主导，系统在宏观上变得无序。

T=Tc{\displaystyle T=T_{c}}且J=Jc{\displaystyle J=J_{c}}。在这一特定的状态上，改变系统的标度不改变系统的物理性质，因为系统处于分形态上。这对应居里相变，这个点称为临界点。

基本理论

假设有一个可以用状态变量{si}{\displaystyle \{s_{i}\}}和一组耦合常数{Jk}{\displaystyle \{J_{k}\}}表示的函数Z{\displaystyle Z}。这个函数必须能够用来描述整个物理系统，比如某个配分函数、作用量、哈密顿量等等。

现在我们考虑状态变量上的块变换{si}→ → -->{s~ ~ -->i}{\displaystyle \{s_{i}\}\to \{{\tilde {s}}_{i}\}}，s~ ~ -->i{\displaystyle {\tilde {s}}_{i}}所包含的数目必须小于si{\displaystyle s_{i}}。接下来我们可以把函数Z{\displaystyle Z}只用s~ ~ -->i{\displaystyle {\tilde {s}}_{i}}来表示。如果{Jk}→ → -->{J~ ~ -->k}{\displaystyle \{J_{k}\}\to \{{\tilde {J}}_{k}\}}也是可以实现的，那么就说这个物理系统是可重整化的。

最基本的物理理论都是可以重整化的，比如量子电动力学，量子色动力学，电弱相互作用等，但是引力是无法重整化的。此外，凝聚态物理中的大部分理论也是可以被重整化的，比如超导，湍流。

变量的变换可以由一个β函数实现：{J~ ~ -->k}=β β -->({Jk}){\displaystyle \{{\tilde {J}}_{k}\}=\beta (\{J_{k}\})}。这一函数可以在J{\displaystyle J}空间上导出流图。系统的宏观状态由流图上的不动点给出。

由于重整化群变换是有损的，这一变换不可逆，所以这一变换实际上是数学上的半群。

参见

重整化

密度矩阵重整化群

临界现象

扩展阅读

入门教程与历史回顾

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